Chance – dai giochi d’azzardo agli affari (di cuore) di Amir D. Aczel

Chance Aczel Da sempre si sente parlare di fortuna e sfortuna; in antichità esse erano venerate come divinità, al giorno d’oggi c’è ancora chi accetta di rischiare tutto affidandosi solo alla dea bendata. Si potrebbe dire che una persona è fortunata se ad essa capitano spesso eventi graditi poco probabili. Superare un esame senza aver studiato, vincere alla lotteria, trovare per strada una banconota da 500 euro o un rarissimo quadrifoglio sono certamente eventi poco probabili, ma non per questo impossibili. Gastone e Paperino sono il binomio che da sempre ha divertito i lettori del mitico “Topolino”, ma come fare per diventare fortunati come Gastone? Con l’aiuto di un po’ di calcolo delle probabilità si possono almeno aumentare le probabilità di “essere fortunati”. Il libro “Chance –dai giochi d’azzardo agli affari (di cuore)– ” di Amir D. Aczel può essere di ottimo aiuto in questa ardua impresa. In una trattazione semplice, esplicativa e accessibile a tutti Aczel enuncia le leggi essenziali della probabilità, mostrando esempi e spiegando il significato nascosto di ogni formula esposta, senza dimenticare di dare di volta in volta delle “dritte” su come comportarsi.

L’intuito suggerisce che quando si lancia una monetina (ad esempio le vecchie 100 lire) l’evento “esce testa” e l’evento “esce croce” sono del tutto equiprobabili e si dice che ognuno ha una probabilità del 50% di verificarsi. Questo “50%” sta a significare che, se si effettua il lancio tante volte (al limite infinite volte), l’evento “esce testa” uscirà circa nella metà dei lanci. Ciò che bisogna sottolineare, però, è che il caso non ha memoria, pertanto se una volta esce testa questo non può suggerirci nulla per il risultato successivo, così come se due volte, tre volte, dieci volte, cento volte esce testa, questo non aumenta la probabilità che nel lancio successivo si verifichi l’evento opposto! È di questo che si occupa la cosiddetta teoria dei numeri ritardatari. Ad esempio, l’argomento “sulla ruota di Bari il numero 3 non esce da troppo tempo, quindi sta per uscire” è del tutto errato. Esso sarebbe corretto se si facesse ricorso alla nozione di limite (si tratterebbe del teorema dei grandi numeri) che prevede un numero infinito di eventi, cosa che nella realtà non si può realizzare. Al finito, dunque, le cose non si equilibrano e la probabilità che esca il numero 3 sulla ruota di Bari è 5/90 (90 sono i numeri possibili e 5 sono i numeri che vengono estratti), sia se il numero 3 è uscito nell’estrazione precedente, sia se quel numero non esce da anni!

Ciò che tutti i matematici consigliano è di non giocare o per lo meno non giocare a lungo.

I problemi sono due: il primo è che nei casinò, come nel gioco del lotto, il gioco non è mai in pareggio, cioè, se ad esempio, c’è una probabilità su cento di vincere e ogni giocata costa 1 euro, la vincita sarà certamente inferiore a 100 euro. Per questo motivo sarebbe conveniente giocare poche volte, sperando di vincere una di quelle volte, e fermarsi alla prima vincita, in modo da rimanere in attivo o da non perderci troppo.

Il secondo problema è che la probabilità di vincere nei giochi d’azzardo è inferiore al 50%, generalmente per il gioco della roulette è di 18/38, cioè del 47%, pertanto è chiaro che, a lungo andare, il giocatore accanito ci perde (in media lo scommettitore perderà 53 volte su 100). Aczel consiglia comunque delle strategie di gioco per coloro che non vogliono rinunciare a “tentare la fortuna”, perché si sa che “gli esseri umani fanno un sacco di cose che qualcuno ha consigliato loro di non fare”. Quando la probabilità di vincere è bassa conviene non esporsi troppo al fattore “numero di eventi elevato”. In altre parole, avere la probabilità del 47% di vincere significa che, a lungo andare, il giocatore ci rimette, quindi è più probabile vincere seguendo la strategia del gioco audace (puntando un po’ più alto una volta sola), piuttosto che quella del gioco prudente (puntando tante volte il minimo). Infatti l’audace giocatore si espone al rischio di perdere una volta sola, mentre il giocatore prudente, si espone più volte a tale rischio. Ad esempio, se lo scommettitore decide di puntare cinque volte, poiché le puntate sono del tutto indipendenti l’una dall’altra, ogni volta che punta egli ha una probabilità di vincere di 18/38.

Complessivamente, dunque, egli avrà una probabilità di vincere a tutte le puntate, pari a 18/38*18/38*18/38*18/38*18/38=0,023, cioè a poco più del 2%, una probabilità di vincere ad almeno tre puntate su cinque (affinché le vincite siano più numerose delle perdite) di poco più del 10%! In altre parole il giocatore prudente ha soltanto 10 probabilità su 100 di rimanere in attivo, contro le 47 su 100 del giocatore audace. È evidente, quindi, quanto sia importante conoscere le regole della probabilità per giocare d’astuzia e seguire le strategie vincenti.

Quante volte si sente dire: “Sono stato sfortunato perché ho avuto tre figlie femmine.”? Ammesso e non concesso che le figlie femmine producano meno ricchezza dei figli maschi, in effetti la probabilità di avere tre figlie femmine è pari a 1/2*1/2*1/2=1/8, cioè al 12,5%, che è piuttosto bassa, quindi quella persona, tutto sommato non aveva torto nel dire che l’evento sperato di avere un figlio maschio si sia lasciato desiderare più del dovuto! Ciò che potrebbe consolare è che anche gli eventi più improbabili, se sono indipendenti, a lungo andare prima o poi si verificano sicuramente! In altre parole, la famosa scritta “ritenta sarai più fortunato” alla quale ormai nessuno crede più, non è contro le leggi della probabilità.

Ad esempio, si supponga che una ditta di merendine indica un concorso che premia con una ferrari la merendina estratta. Si supponga, inoltre, che solo una merendina su 1000 sarà quella vincente. È chiaro che il compratore, quando acquista una merendina avrà solo una probabilità su 1000 di vincere, cioè una probabilità dello 0,1%, ma se ne compra 200 (senza badare alla spesa di merendine di cui è evidentemente ghiotto), la probabilità di vincere sarà data da 1-(999/1000)^200=0,18. Quindi la probabilità di comprare la merendina vincente è aumentata dallo 0,1% al 18%! È il caso di fare alcune osservazioni su quella formula appena scritta. La probabilità di vincere è pari, in questa situazione, alla probabilità che non si verifichi l’evento “le 200 merendine acquistate sono tutte perdenti”. Poiché una sola merendina vince, 999 su 1000 sono perdenti, pertanto la probabilità che una merendina sia perdente è pari a 999/1000. Quindi la probabilità che le 200 merendine siano perdenti è proprio (999/1000)^200. In questo caso è stato fatto un esempio in cui il numero dei casi possibili è finito (al più il compratore acquisterà tutte le merendine del concorso), è intuitivo capire che se le compra tutte, comprerà anche quella vincente e avrà una probabilità del 100% di vincere.

Il discorso appena fatto vale anche quando i casi possibili sono infiniti, a patto di far tendere all’infinito anche il numero di eventi. Questo porta a risultati sorprendenti, ad esempio se si tenta un esame infinite volte senza studiare, la probabilità di superarlo è del 100% (se non si tiene conto di fattori che influenzano il risultato dell’evento, ad esempio il professore dopo le prime cinque bocciature sarà mal predisposto nei confronti dello studente svogliato!).

In definitiva anche gli eventi meno probabili hanno una probabilità di verificarsi molto alta se si aumenta il numero di tentativi e, al limite, hanno una probabilità di verificarsi del 100% se si fanno infiniti tentativi. Aczel assicura che dopo infinite prove una scimmia riuscirà a battere a macchina tutto l’Amleto, spingendo lettere a caso sulla tastiera (ne vedremmo di belle se vivessimo per tutta l’eternità!).

Lo studio della probabilità è pronto a meravigliare chiunque, perché la visione che abbiamo degli eventi, al finito, è solo parziale e diventa perfetta soltanto se ci si estende all’infinito con la matematica e l’immaginazione. È in questo universo contenente l’infinito che tutto diventa possibile e ci si rende conto che ciò che si riteneva impossibile era solo estremamente improbabile.

Articolo di Francesca Colasuonno per Informagiovani Italia